|
|
| (24 dazwischenliegende Versionen von 7 Benutzern werden nicht angezeigt) |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br />
| | [[Datei:Cake quarters.svg|mini|Dieser Kuchen wurde in vier Teile zerschnitten. Drei Viertel sind noch da. Ein Viertel fehlt.]] |
| Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br />
| | Bruchrechnung braucht man bei einer Teilung. Das ist nützlich, wenn etwas geteilt werden soll, was sich mit ganzen [[Zahl]]en nicht beschreiben lässt. Beispielsweise will man vielleicht einen Kuchen unter mehreren Menschen aufzuteilen. |
| <br />
| |
| Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".
| |
| <gallery>
| |
| File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen
| |
| File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke
| |
| <gallery>
| |
| File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel
| |
| File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel
| |
| <gallery>
| |
| File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel
| |
| </gallery>
| |
|
| |
|
| | [[Datei:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel sind dasselbe wie 4 Achtel]] |
| | Den Bruch ½ kann man sich so denken, dass 1 Kuchen auf 2 Menschen verteilt wurde. Man kann sich aber auch vorstellen, dass 1 Kuchen in 4 Teile zerschnitten wurde und 1 Mensch hat 2 Teile bekommen. Oder der Kuchen wurde in 8 Teile zerschnitten und 1 Mensch hat 4 Teile erhalten. Dies zeigt das untere Bild. |
|
| |
|
| == Brüche allgemein ==
| | Den Bruch ¾ kann man sich auf zwei Arten denken: Entweder wurde 1 Kuchen in 4 Stücke aufgeteilt und ein Mensch hat davon drei Stücke bekommen. Oder 3 Kuchen wurden auf 4 Menschen aufgeteilt. |
| === Scheibweise ===
| |
| [[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]
| |
| Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br />
| |
| Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der durch 4 Stücke geteilt wurde.
| |
| Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).
| |
| Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).
| |
| <br />
| |
| [[File:2 Viertel gleich 4 Achtel.png|thumb|2 Viertel gleich 4 Achtel]]<br />
| |
| === Bruchzahl und Brüche ===
| |
| Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche, die alle den gleichen Wert bzw. die gleiche Bedeutung haben. Von einer Bruchzahl zu der nächsten Bruchzahl gelangt man durch Erweitern und Kürzen (siehe unten). Dabei verändert sich der Wert der Bruchzahl nicht. Es handelt sich lediglich um eine andere Form der Darstellung.<br />
| |
|
| |
|
| <br />Man kann einen Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Er lässt sich aber auch in 6,8,12,... Teile zerlegen. Trotzdem ändert sich die Größe des Kuchens nicht.
| | Etwas Bestimmtes ist der [[Dezimalzahl|Dezimalbruch]]. Er ist eigentlich ein Zehnerbruch. Das Ganze wurde also in 10, 100, 1000 oder in eine noch größere Zehnerzahl aufgeteilt. ½ heißt als Dezimalbruch 0,5. Ein halber [[Liter]] beispielsweise ist dasselbe wie 5 Deziliter oder eben 0,5 Liter. So steht es auf den [[PET-Flasche]]en. ¾ sind dann 0,75 und so weiter. |
|
| |
|
| | Mit den Bruchrechnungen beginnt man in der oberen Hälfte der [[Grundschule]]. Kompliziertere Bruchrechnungen folgen jedoch erst in höheren Schulstufen. Dabei wird auch der Taschenrechner oder der [[Computer]] eingesetzt. Sie können komplizierte Systeme von Brüchen auflösen helfen. Dies erspart dem Schüler viel [[Arbeit]]. |
|
| |
|
| === Erweitern ===
| | {{Artikel}} |
| Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br />
| | [[Kategorie:Wissenschaft und Technik]] |
| | |
| Zum Beispiel:<br />
| |
| <sup>2</sup>/<sub>3</sub> wird mit dem Faktor 3 erweitert.<br />
| |
| Also wird der Zähler mit 3 multipliziert (2 mal 3 = 6) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 multipliziert (3 mal 3 = 9).<br />
| |
| Aus dem Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub> ergibt sich also somit der erweiterte Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub>.<br />
| |
| | |
| === Kürzen ===
| |
| Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br />
| |
| | |
| Zum Beispiel: <br />
| |
| | |
| <sup>6</sup>/<sub>9</sub> wird mit dem Divisor 3 gekürzt.<br />
| |
| Also wird der Zähler mit 3 dividiert (6:3=2) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 dividiert (9:3=3).<br />
| |
| Aus dem Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub> ergibt sich also somit der gekürzte Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub>.<br />
| |
| <br />
| |
| == Rechnen mit Brüchen ==
| |
| === Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===
| |
| Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
| |
| | |
| Will man beispielsweise die Brüche <sup>5</sup>/<sub>8</sub> und <sup>1</sup>/<sub>5</sub> addieren, müssen zuerst die verschiedenen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner wäre die Zahl 40. Im nächsten Schritt muss der Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> mit dem Faktor 5 erweitert werden und der Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> mit dem Faktor 8. Wie man Brüche erweitert, ist unter dem Abschnitt '''Erweitern''' erklärt. <br /><br />
| |
| | |
| Aus dem Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>25</sup>/<sub>40</sub><br />
| |
| und aus dem Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>8</sup>/<sub>40</sub>.<br />.
| |
| | |
| In dem Beispiel oben wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br />
| |
| <sup>25</sup>/<sub>40</sub> + <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>33</sup>/<sub>40</sub>
| |
| | |
| Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br />
| |
| <sup>25</sup>/<sub>40</sub> - <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>17</sup>/<sub>40</sub>
| |
| | |
| | |
| === Multiplizieren von Brüchen ===
| |
| | |
| Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br />
| |
| <br />
| |
| Beispiel:
| |
| <gallery>
| |
| File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png
| |
| </gallery><br />
| |
| <br />
| |
| === Dividieren von Brüchen ===
| |
| Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten:
| |
| Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br />
| |
| <br />
| |
| Beispiel:
| |
| <gallery>
| |
| File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png
| |
| |
| |
| </gallery>
| |
| | |
| [[Kategorie:Artikelentwürfe]] | |
Dieser Kuchen wurde in vier Teile zerschnitten. Drei Viertel sind noch da. Ein Viertel fehlt.
Bruchrechnung braucht man bei einer Teilung. Das ist nützlich, wenn etwas geteilt werden soll, was sich mit ganzen Zahlen nicht beschreiben lässt. Beispielsweise will man vielleicht einen Kuchen unter mehreren Menschen aufzuteilen.
2 Viertel sind dasselbe wie 4 Achtel
Den Bruch ½ kann man sich so denken, dass 1 Kuchen auf 2 Menschen verteilt wurde. Man kann sich aber auch vorstellen, dass 1 Kuchen in 4 Teile zerschnitten wurde und 1 Mensch hat 2 Teile bekommen. Oder der Kuchen wurde in 8 Teile zerschnitten und 1 Mensch hat 4 Teile erhalten. Dies zeigt das untere Bild.
Den Bruch ¾ kann man sich auf zwei Arten denken: Entweder wurde 1 Kuchen in 4 Stücke aufgeteilt und ein Mensch hat davon drei Stücke bekommen. Oder 3 Kuchen wurden auf 4 Menschen aufgeteilt.
Etwas Bestimmtes ist der Dezimalbruch. Er ist eigentlich ein Zehnerbruch. Das Ganze wurde also in 10, 100, 1000 oder in eine noch größere Zehnerzahl aufgeteilt. ½ heißt als Dezimalbruch 0,5. Ein halber Liter beispielsweise ist dasselbe wie 5 Deziliter oder eben 0,5 Liter. So steht es auf den PET-Flascheen. ¾ sind dann 0,75 und so weiter.
Mit den Bruchrechnungen beginnt man in der oberen Hälfte der Grundschule. Kompliziertere Bruchrechnungen folgen jedoch erst in höheren Schulstufen. Dabei wird auch der Taschenrechner oder der Computer eingesetzt. Sie können komplizierte Systeme von Brüchen auflösen helfen. Dies erspart dem Schüler viel Arbeit.
