Mittelwert

Dieses Diagramm zeigt das Taschengeld von fünf Kindern. Karl erhält sehr viel Geld, die anderen Kinder erhalten viel weniger und liegen ziemlich nahe beieinander. Im Durchschnitt erhält jedes Kind 8 Euro, da liegen aber vier Kinder darunter. Im Median liegt Tanja mit 5 Euro, das entspricht einem Großteil der Gruppe.

Der Mittelwert ist ein Begriff aus der Mathematik. Es geht darum, dass man über eine Gruppe von Werten einen guten Überblick bekommt. Deshalb versucht man, die ganze Gruppe zu einem einzigen Wert zusammenzufassen.

Einen Mittelwert braucht man zum Beispiel um festzustellen, wie viel Geld die Menschen eines Landes verdienen oder wie alt sie werden. Man kann das dann einfacher mit anderen Ländern vergleichen. Auch Leistungen zwischen Schulklassen werden gerne so verglichen. Es gibt fast unzählig viele Anwendungsbeispiele.

Es gibt auch viele verschiedene Mittelwerte. Meistens denkt man dabei entweder an den Durchschnitt oder an den Median. Zum Durchschnitt sagen Mathematiker auch arithmetischer Mittelwert. Es gibt aber auch noch den geometrische Mittelwert und viele andere mehr. Auf dem Bevölkerungsamt, bei Banken, Versicherungen und in vielen anderen Bereichen arbeitet man oft mit Mittelwerten.

Zuerst muss man dann einmal festlegen, welchen Mittelwert man sinnvoll anwendet. Je nachdem bekommt man dann nämlich einen anderen Eindruck, wie die nachfolgenden Beispiele gleich zeigen werden.

Zur Veranschaulichung dient das Diagramm hier rechts: Fünf Kinder erhalten Taschengeld. Karl erhält 22 Euro, Heike 6 Euro, Tanja 5 Euro, Otto 4 Euro und Ulrike 3 Euro. Karl bekommt deutlich mehr als die anderen. Mathematiker nennen so einen Wert, der stark von den anderen abweicht, einen Ausreißer. Wir werden mal sehen, was das bewirkt.

Was ist der Durchschnitt und wie berechnet man ihn?

Wir nehmen mal an, mit Durchschnitt sei das arithmetische Mittel gemeint, denn es wird am häufigsten angewendet. Um den Durchschnitt im Bild zu bekommen rechnet man alle Geldbeträge zusammen und kommt auf 40 Euro. Diese Zahl teilt man durch die Anzahl der Kinder, also durch 5. Das Resultat ist 8 Euro, das ist der Durchschnitt.

So wird vieles berechnet, zum Beispiel das Durchschnittsalter aller Menschen in einem Land oder ihr durchschnittlicher Lohn. Allerdings kann diese Zahl auch in die Irre führen. In unserem Beispiel bekommt Karl deutlich mehr als die anderen Kinder. Man könnte meinen, ein Großteil der Gruppe hätte so um 8 Euro Taschengeld, das stimmt aber nicht. Der Durchschnitt ist also nicht immer die Größe, die den besten Überblick über eine Gruppe verschafft.

Ein Beispiel aus dem richtigen Leben ist der Reichtum der Menschen in einem Land. Manche Leute verdienen ganz besonders viel Geld. Wenn man dann den Durchschnitt errechnet, könnte man meinen: Alle Leute im Land haben ziemlich viel Geld. In Wirklichkeit gibt es wohl viele Arme und viele nicht ganz so arme Menschen. Wegen der wenigen Reichen liegt der Durchschnitt aber recht hoch.

Was ist der Median und wie bestimmt man ihn?

Diese neun Tierfiguren wurden zunächst der Größe nach aufgestellt um den Median zu bestimmen. Die braune Kuh ist genau in der Mitte der Reihe: Links von ihr sind vier Tiere und rechts von ihr ebenfalls vier. Also liegt der Median bei der braunen Kuh.

Man verwendet manchmal auch den Median als Mittelwert. Dabei macht man es so: Man sortiert das Taschengeld aller Kinder nach der Höhe. Dann zählt man das mittlere Kind ab. In unserem Fall ist dies Tanja mit 5 Euro Taschengeld. Der Median ist also 5 Euro. Heike und Otto liegen ganz in der Nähe und Ulrike ist auch nicht sehr weit davon entfernt. Die meisten Kinder liegen also mit ihrem Taschengeld nahe bei Tanja.

Karl ist ein Ausreißer. Wenn er die Gruppe verlässt, sinkt der Durchschnitt stark ab, nämlich auf 4,50 Euro. Der Median liegt dann zwischen Tanja und Otto, also auch immer noch bei 4.50 Euro. Wenn aber ein anderes Kind die Gruppe verlässt, ändert sich nicht viel. Ein einzelner Ausreißer hat also sehr viel Einfluss auf den Durchschnitt, nicht aber auf den Median. Deshalb ist in diesem Beispiel der Median ein viel sinnvollerer Mittelwert.

Im richtigen Leben ist dies ebenfalls sehr wichtig: In einem Land können zum Beispiel viele arme Bauern leben, die sehr wenig verdienen. Wenige Großgrundbesitzer verdienen jedoch sehr viel Geld. Gemäß dem Durchschnitt könnte man meinen, den Menschen gehe es allen recht gut. Im Median liegt jedoch ein armer Bauer, zusammen mit den meisten Menschen in diesem Land. Daran ändert sich auch nichts, wenn die Reichen noch reicher werden. Den Durchschnitt würde das aber sehr wohl verändern.

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