Bruchrechnung

Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der Arithmetik. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen.
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen?

Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".

• Cake tootfarangi.jpg

  Ganzer Kuchen

• 4 Kuchenstücke.png

  4 Kuchenstücke

• Ein Stück = ein Viertel.png

  1 Stück = 1 Viertel

• Zwei Stücke = zwei Viertel.png

  2 Stücke = 2 Viertel

• Drei Stücke = drei Viertel.png

  3 Stücke = 3 Viertel

Brüche allgemein

Scheibweise

Datei:Gemeiner Bruch.svg

Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner.
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der durch 4 Stücke geteilt wurde.

Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).

Datei:2 Viertel gleich vier Achtel.png

2 Viertel = 4 Achtel

Bruchzahl und Brüche

Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargstellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht!

Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.

Solche Brüche, die denselben Wert haben aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.

Bruchzahl     Brüche
     1    =   2  =  4  =  6   ...
     2        4     8    12    

Erweitern

Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert.

Zum Beispiel:

2/3 wird mit dem Faktor 3 erweitert.

Also wird der Zähler mit 3 multipliziert (2 mal 3 = 6) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 multipliziert (3 mal 3 = 9).

Aus dem Bruch 2/3 ergibt sich also somit der erweiterte Bruch  6/9.

Kürzen

Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.

Zum Beispiel:

6/9 wird mit dem Divisor 3 gekürzt.

Also wird der Zähler mit 3 dividiert (6:3=2) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 dividiert (9:3=3).

Aus dem Bruch 6/9 ergibt sich also somit der gekürzte Bruch  2/3.
 

Rechnen mit Brüchen

Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. Gleichnamig bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist.

Will man beispielsweise die Brüche ⁵/₈ und ¹/₅ addieren, müssen zuerst die verschiedenen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner wäre die Zahl 40. Im nächsten Schritt muss der Bruch ⁵/₈ mit dem Faktor 5 erweitert werden und der Bruch ¹/₅ mit dem Faktor 8. Wie man Brüche erweitert, ist unter dem Abschnitt Erweitern erklärt.

Aus dem Bruch 5/8 wird dann der erweiterte Bruch 25/40

und aus dem Bruch 1/5 wird dann der erweiterte Bruch 8/40.
.

In dem Beispiel oben wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!

25/40 + 8/40 = 33/40

Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.

25/40 - 8/40 = 17/40

Multiplizieren von Brüchen

Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).

Beispiel:

• Multiplizieren von Brüchen.png

Dividieren von Brüchen

Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von ⁶/₅ --> ⁵/₆

Beispiel:

• Dividieren von Brüchen.png