Bruchrechnung

Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der Arithmetik. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen.
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen?

Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".

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  Ganzer Kuchen

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  4 Kuchenstücke

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  1 Stück = 1 Viertel

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  2 Stücke = 2 Viertel

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  3 Stücke = 3 Viertel

Brüche allgemein

Schreibweise

Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner.
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der durch 4 Stücke geteilt wurde.

Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).

2 Viertel = 4 Achtel

Bruchzahl und Brüche

Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargstellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht!

Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.

Solche Brüche, die denselben Wert haben aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.

Bruchzahl     Brüche
     1    =   2  =  4  =  6   ...
     2        4     8    12    

Brüche erweitern

Erweitern

Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert.

Beispielsweise soll der Bruch zwei Viertel mit 3 erweitert werden. Dabei muss der Zähler mal 3 genommen werden und der Nenner ebenfalls mal 3. Das Ergebnis sechs Zwölftel hat den selben Wert wie zwei Viertel.

Brüche kürzen

Kürzen

Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.

Im Beispiel wird der Bruch sechs Neuntel mit 3 gekürzt. Auch hier wird jeweils der Zähler geteilt durch 3 und der Nenner geteilt durch 3 genommen. Das Ergebnis zwei Drittel und der zu kürzende Bruch sechs Neuntel sind gleichwertig.

Rechnen mit Brüchen

Datei:Addieren.png

Brüche addieren

Addieren

Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. Gleichnamig bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist.
Der einfachste Weg Brüche gleichnamig zu machen ist, den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu erweitertn.

Beispielsweise sollen die Brüche fünf Achtel und ein Drittel addiert werden. Fünf Achtel wird mit 3 erweitert und ein Drittel wird mit 8 erweitert. Erst wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, können die Zähler addiert werden. Achtung: Der Nenner bleibt gleich!

Datei:Subtrahieren.png

Brüche Subtrahieren

Subtrahieren

Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Dies geschieht genau wie bei der Addition durch Erweitern oder Kürzen.
Wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, werden die Zähler subtrahiert.
Die Nenner bleiben ebenfalls gleich!

Multiplizieren

Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).

Beispiel:

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Dividieren

Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von ⁶/₅ --> ⁵/₆

Beispiel:

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