https://klexikon.zum.de/api.php?action=feedcontributions&user=Anna+Syrai&feedformat=atomKlexikon – das Kinderlexikon - Benutzerbeiträge [de]2024-03-28T22:09:54ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.39.6https://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35152Bruchrechnung2016-07-06T19:12:07Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
<gallery><br />
File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
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File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
<gallery><br />
File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Schreibweise === <br />
[[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br /><br />
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der in 4 Stücke geteilt wurde. <br />
Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).<br />
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).<br />
<br /><br />
[[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel = 4 Achtel]]<br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargestellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht! <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.<br /><br /><br />
<br />
Solche Brüche mit demselben Wert, die aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.<br />
Bruchzahl Brüche<br />
<u>1</u> <sub>=</sub> <u>2</u> <sub>=</sub> <u>4</u> <sub>=</sub> <u>6</u> <sub>...</sub><br />
2 4 8 12 <br /><br />
[[File:Erweitern.png|thumb|Brüche erweitern]]<br />
<br />
<br /><br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise soll der Bruch zwei Viertel mit 3 erweitert werden. Dabei muss der Zähler mal 3 genommen werden und der Nenner ebenfalls mit 3 multipliziert werden. Das Ergebnis sechs Zwölftel hat den selben Wert wie zwei Viertel.<br />
<br />
<br />[[File:Kürzen.png|thumb|Brüche kürzen]]<br />
=== Kürzen === <br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br /><br />
Im Beispiel wird der Bruch sechs Neuntel mit 3 gekürzt. Auch hier wird jeweils der Zähler durch 3 geteilt, genauso wie der Nenner durch 3 geteilt wird. Das Ergebnis zwei Drittel und der Bruch sechs Neuntel sind gleichwertig.<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
[[File:Addieren.png|thumb|Brüche addieren]]<br />
=== Addieren === <br />
<br /><br />
<br />
Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
Der einfachste Weg, Brüche gleichnamig zu machen ist, den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu erweitern. <br />
<br /><br />
<br />
Beispielsweise sollen die Brüche fünf Achtel und ein Drittel addiert werden. Fünf Achtel wird mit 3 erweitert und ein Drittel wird mit 8 erweitert.<br />
Erst wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, können die Zähler addiert werden. Achtung: Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
[[File:Subtrahieren.png|thumb|Brüche Subtrahieren]]<br /><br />
<br />
=== Subtrahieren ===<br />
<br /><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Dies geschieht genau wie bei der Addition durch Erweitern oder Kürzen.<br /><br />
Wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, werden die Zähler subtrahiert. <br /><br />
Die Nenner bleiben ebenfalls gleich!<br /><br />
<br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<gallery><br />
File:Multiplizieren.png<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
=== Dividieren ===<br />
Brüche werden dividiert, indem mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird. Der Kehrwert eines Bruchs wird gebildet, indem Zähler und Nenner miteinander vertauscht werden. So ist der Kehrwert von sechs Fünftel dann fünf Sechstel. Danach werden die Brüche wie gewöhnlich multipliziert.<br />
<gallery><br />
File:Br%C3%BCche_von_Division.png<br />
</gallery><br />
<br />
[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35129Bruchrechnung2016-07-06T17:51:06Z<p>Anna Syrai: </p>
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<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
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File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
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File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
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File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
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<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Schreibweise === <br />
[[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br /><br />
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der in 4 Stücke geteilt wurde. <br />
Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).<br />
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).<br />
<br /><br />
[[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel = 4 Achtel]]<br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargstellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht! <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.<br /><br /><br />
<br />
Solche Brüche mit demselben Wert, die aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.<br />
Bruchzahl Brüche<br />
<u>1</u> <sub>=</sub> <u>2</u> <sub>=</sub> <u>4</u> <sub>=</sub> <u>6</u> <sub>...</sub><br />
2 4 8 12 <br /><br />
[[File:Erweitern.png|thumb|Brüche erweitern]]<br />
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=== Erweitern ===<br />
<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise soll der Bruch zwei Viertel mit 3 erweitert werden. Dabei muss der Zähler mal 3 genommen werden und der Nenner ebenfalls mit 3 multipliziert werden. Das Ergebnis sechs Zwölftel hat den selben Wert wie zwei Viertel.<br />
<br />
<br />[[File:Kürzen.png|thumb|Brüche kürzen]]<br />
=== Kürzen === <br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br /><br />
Im Beispiel wird der Bruch sechs Neuntel mit 3 gekürzt. Auch hier wird jeweils der Zähler durch 3 geteilt, genauso wie der Nenner durch 3 geteilt wird. Das Ergebnis zwei Drittel und der Bruch sechs Neuntel sind gleichwertig.<br /><br />
<br /><br />
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== Rechnen mit Brüchen ==<br />
[[File:Addieren.png|thumb|Brüche addieren]]<br />
=== Addieren === <br />
<br /><br />
<br />
Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
Der einfachste Weg, Brüche gleichnamig zu machen ist, den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu erweitern. <br />
<br /><br />
<br />
Beispielsweise sollen die Brüche fünf Achtel und ein Drittel addiert werden. Fünf Achtel wird mit 3 erweitert und ein Drittel wird mit 8 erweitert.<br />
Erst wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, können die Zähler addiert werden. Achtung: Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
[[File:Subtrahieren.png|thumb|Brüche Subtrahieren]]<br /><br />
<br />
=== Subtrahieren ===<br />
<br /><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Dies geschieht genau wie bei der Addition durch Erweitern oder Kürzen.<br /><br />
Wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, werden die Zähler subtrahiert. <br /><br />
Die Nenner bleiben ebenfalls gleich!<br /><br />
<br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
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File:Multiplizieren.png<br />
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=== Dividieren ===<br />
Brüche werden dividiert, indem mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird. Der Kehrwert eines Bruchs wird gebildet, indem Zähler und Nenner miteinander vertauscht werden. So ist der Kehrwert von sechs Fünftel dann fünf Sechstel. Danach werden die Brüche wie gewöhnlich multipliziert.<br />
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File:Br%C3%BCche_von_Division.png<br />
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[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35128Bruchrechnung2016-07-06T17:49:15Z<p>Anna Syrai: </p>
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<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
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File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
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File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
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File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
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<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Schreibweise === <br />
[[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br /><br />
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der in 4 Stücke geteilt wurde. <br />
Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).<br />
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).<br />
<br /><br />
[[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel = 4 Achtel]]<br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargstellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht! <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.<br /><br /><br />
<br />
Solche Brüche mit demselben Wert, die aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.<br />
Bruchzahl Brüche<br />
<u>1</u> <sub>=</sub> <u>2</u> <sub>=</sub> <u>4</u> <sub>=</sub> <u>6</u> <sub>...</sub><br />
2 4 8 12 <br /><br />
[[File:Erweitern.png|thumb|Brüche erweitern]]<br />
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=== Erweitern ===<br />
<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise soll der Bruch zwei Viertel mit 3 erweitert werden. Dabei muss der Zähler mal 3 genommen werden und der Nenner ebenfalls mit 3 multipliziert werden. Das Ergebnis sechs Zwölftel hat den selben Wert wie zwei Viertel.<br />
<br />
<br />[[File:Kürzen.png|thumb|Brüche kürzen]]<br />
=== Kürzen === <br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br /><br />
Im Beispiel wird der Bruch sechs Neuntel mit 3 gekürzt. Auch hier wird jeweils der Zähler durch 3 geteilt, genauso wie der Nenner durch 3 geteilt wird. Das Ergebnis zwei Drittel und der Bruch sechs Neuntel sind gleichwertig.<br /><br />
<br /><br />
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== Rechnen mit Brüchen ==<br />
[[File:Addieren.png|thumb|Brüche addieren]]<br />
=== Addieren === <br />
<br /><br />
<br />
Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
Der einfachste Weg, Brüche gleichnamig zu machen ist, den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu erweitern. <br />
<br /><br />
<br />
Beispielsweise sollen die Brüche fünf Achtel und ein Drittel addiert werden. Fünf Achtel wird mit 3 erweitert und ein Drittel wird mit 8 erweitert.<br />
Erst wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, können die Zähler addiert werden. Achtung: Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
[[File:Subtrahieren.png|thumb|Brüche Subtrahieren]]<br /><br />
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=== Subtrahieren ===<br />
<br /><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Dies geschieht genau wie bei der Addition durch Erweitern oder Kürzen.<br /><br />
Wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, werden die Zähler subtrahiert. <br /><br />
Die Nenner bleiben ebenfalls gleich!<br /><br />
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=== Multiplizieren ===<br />
<br /><br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
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File:Multiplizieren.png<br />
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=== Dividieren ===<br />
<br /><br />
Brüche werden dividiert, indem mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird. Der Kehrwert eines Bruchs wird gebildet, indem Zähler und Nenner miteinander vertauscht werden. So ist der Kehrwert von sechs Fünftel dann fünf Sechstel. Danach werden die Brüche wie gewöhnlich multipliziert.<br />
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File:Br%C3%BCche_von_Division.png<br />
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[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35127Bruchrechnung2016-07-06T17:46:54Z<p>Anna Syrai: </p>
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<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
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File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
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File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
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File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
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== Brüche allgemein ==<br />
=== Schreibweise === <br />
[[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br /><br />
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der in 4 Stücke geteilt wurde. <br />
Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).<br />
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).<br />
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[[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel = 4 Achtel]]<br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargstellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht! <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.<br /><br /><br />
<br />
Solche Brüche mit demselben Wert, die aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.<br />
Bruchzahl Brüche<br />
<u>1</u> <sub>=</sub> <u>2</u> <sub>=</sub> <u>4</u> <sub>=</sub> <u>6</u> <sub>...</sub><br />
2 4 8 12 <br /><br />
[[File:Erweitern.png|thumb|Brüche erweitern]]<br />
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=== Erweitern ===<br />
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Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br /><br />
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Beispielsweise soll der Bruch zwei Viertel mit 3 erweitert werden. Dabei muss der Zähler mal 3 genommen werden und der Nenner ebenfalls mit 3 multipliziert werden. Das Ergebnis sechs Zwölftel hat den selben Wert wie zwei Viertel.<br />
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<br />[[File:Kürzen.png|thumb|Brüche kürzen]]<br />
=== Kürzen === <br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br /><br />
Im Beispiel wird der Bruch sechs Neuntel mit 3 gekürzt. Auch hier wird jeweils der Zähler durch 3 geteilt, genauso wie der Nenner durch 3 geteilt wird. Das Ergebnis zwei Drittel und der Bruch sechs Neuntel sind gleichwertig.<br /><br />
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== Rechnen mit Brüchen ==<br />
[[File:Addieren.png|thumb|Brüche addieren]]<br />
=== Addieren === <br />
<br /><br />
<br />
Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
Der einfachste Weg, Brüche gleichnamig zu machen ist, den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu erweitern. <br />
<br /><br />
<br />
Beispielsweise sollen die Brüche fünf Achtel und ein Drittel addiert werden. Fünf Achtel wird mit 3 erweitert und ein Drittel wird mit 8 erweitert.<br />
Erst wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, können die Zähler addiert werden. Achtung: Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
[[File:Subtrahieren.png|thumb|Brüche Subtrahieren]]<br /><br />
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=== Subtrahieren ===<br />
<br /><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Dies geschieht genau wie bei der Addition durch Erweitern oder Kürzen.<br /><br />
Wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, werden die Zähler subtrahiert. <br /><br />
Die Nenner bleiben ebenfalls gleich!<br /><br />
<br />
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=== Multiplizieren ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
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File:Multiplizieren.png<br />
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=== Dividieren ===<br />
Brüche werden dividiert, indem mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird. Der Kehrwert eines Bruchs wird gebildet, indem Zähler und Nenner miteinander vertauscht werden. So ist der Kehrwert von sechs Fünftel dann fünf Sechstel. Danach werden die Brüche wie gewöhnlich multipliziert.<br />
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File:Br%C3%BCche_von_Division.png<br />
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[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35126Bruchrechnung2016-07-06T17:18:00Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
<gallery><br />
File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
<gallery><br />
File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
<gallery><br />
File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Schreibweise === <br />
[[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br /><br />
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der durch 4 Stücke geteilt wurde. <br />
Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).<br />
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).<br />
<br /><br />
[[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel = 4 Achtel]]<br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargstellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht! <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.<br /><br /><br />
<br />
Solche Brüche, die denselben Wert haben aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.<br />
Bruchzahl Brüche<br />
<u>1</u> <sub>=</sub> <u>2</u> <sub>=</sub> <u>4</u> <sub>=</sub> <u>6</u> <sub>...</sub><br />
2 4 8 12 <br /><br />
[[File:Erweitern.png|thumb|Brüche erweitern]]<br />
<br />
<br /><br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise soll der Bruch zwei Viertel mit 3 erweitert werden. Dabei muss der Zähler mal 3 genommen werden und der Nenner ebenfalls mal 3. Das Ergebnis sechs Zwölftel hat den selben Wert wie zwei Viertel.<br />
<br />
<br />[[File:Kürzen.png|thumb|Brüche kürzen]]<br />
=== Kürzen === <br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br /><br />
Im Beispiel wird der Bruch sechs Neuntel mit 3 gekürzt. Auch hier wird jeweils der Zähler geteilt durch 3 und der Nenner geteilt durch 3 genommen. Das Ergebnis zwei Drittel und der zu kürzende Bruch sechs Neuntel sind gleichwertig.<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
[[File:Addieren.png|thumb|Brüche addieren]]<br />
=== Addieren === <br />
<br /><br />
<br />
Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
Der einfachste Weg Brüche gleichnamig zu machen ist, den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu erweitertn. <br />
<br /><br />
<br />
Beispielsweise sollen die Brüche fünf Achtel und ein Drittel addiert werden. Fünf Achtel wird mit 3 erweitert und ein Drittel wird mit 8 erweitert.<br />
Erst wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, können die Zähler addiert werden. Achtung: Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
[[File:Subtrahieren.png|thumb|Brüche Subtrahieren]]<br /><br />
<br />
=== Subtrahieren ===<br />
<br /><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Dies geschieht genau wie bei der Addition durch Erweitern oder Kürzen.<br /><br />
Wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, werden die Zähler subtrahiert. <br /><br />
Die Nenner bleiben ebenfalls gleich!<br /><br />
<br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<gallery><br />
File:Multiplizieren.png<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
=== Dividieren ===<br />
Brüche werden dividiert, indem mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird. Der Kehrwert eines Bruchs wird gebildet, indem Zähler und Nenner miteinander vertauscht werden. So ist der Kehrwert von sechs Fünftel dann fünf Sechstel. Danach werden die Brüche wie gewöhnlich multipliziert.<br />
<gallery><br />
File:Br%C3%BCche_von_Division.png<br />
</gallery><br />
<br />
[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35125Bruchrechnung2016-07-06T17:01:38Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
<gallery><br />
File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
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File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
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File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Schreibweise === <br />
[[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br /><br />
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der durch 4 Stücke geteilt wurde. <br />
Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).<br />
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).<br />
<br /><br />
[[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel = 4 Achtel]]<br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargstellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht! <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.<br /><br /><br />
<br />
Solche Brüche, die denselben Wert haben aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.<br />
Bruchzahl Brüche<br />
<u>1</u> <sub>=</sub> <u>2</u> <sub>=</sub> <u>4</u> <sub>=</sub> <u>6</u> <sub>...</sub><br />
2 4 8 12 <br /><br />
[[File:Erweitern.png|thumb|Brüche erweitern]]<br />
<br />
<br /><br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise soll der Bruch zwei Viertel mit 3 erweitert werden. Dabei muss der Zähler mal 3 genommen werden und der Nenner ebenfalls mal 3. Das Ergebnis sechs Zwölftel hat den selben Wert wie zwei Viertel.<br />
<br />
<br />[[File:Kürzen.png|thumb|Brüche kürzen]]<br />
=== Kürzen === <br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br /><br />
Im Beispiel wird der Bruch sechs Neuntel mit 3 gekürzt. Auch hier wird jeweils der Zähler geteilt durch 3 und der Nenner geteilt durch 3 genommen. Das Ergebnis zwei Drittel und der zu kürzende Bruch sechs Neuntel sind gleichwertig.<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
[[File:Addieren.png|thumb|Brüche addieren]]<br />
=== Addieren === <br />
<br /><br />
<br />
Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
Der einfachste Weg Brüche gleichnamig zu machen ist, den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu erweitertn. <br />
<br /><br />
<br />
Beispielsweise sollen die Brüche fünf Achtel und ein Drittel addiert werden. Fünf Achtel wird mit 3 erweitert und ein Drittel wird mit 8 erweitert.<br />
Erst wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, können die Zähler addiert werden. Achtung: Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
[[File:Subtrahieren.png|thumb|Brüche Subtrahieren]]<br /><br />
<br />
=== Subtrahieren ===<br />
<br /><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Dies geschieht genau wie bei der Addition durch Erweitern oder Kürzen.<br /><br />
Wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, werden die Zähler subtrahiert. <br /><br />
Die Nenner bleiben ebenfalls gleich!<br /><br />
<br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
</gallery><br /><br />
<br /><br />
=== Dividieren ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
|<br />
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<br />
[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35124Bruchrechnung2016-07-06T16:59:19Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
<gallery><br />
File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
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File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
<gallery><br />
File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Schreibweise === <br />
[[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br /><br />
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der durch 4 Stücke geteilt wurde. <br />
Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).<br />
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).<br />
<br /><br />
[[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel = 4 Achtel]]<br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargstellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht! <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.<br /><br /><br />
<br />
Solche Brüche, die denselben Wert haben aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.<br />
Bruchzahl Brüche<br />
<u>1</u> <sub>=</sub> <u>2</u> <sub>=</sub> <u>4</u> <sub>=</sub> <u>6</u> <sub>...</sub><br />
2 4 8 12 <br /><br />
[[File:Erweitern.png|thumb|Brüche erweitern]]<br />
<br />
<br /><br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise soll der Bruch zwei Viertel mit 3 erweitert werden. Dabei muss der Zähler mal 3 genommen werden und der Nenner ebenfalls mal 3. Das Ergebnis sechs Zwölftel hat den selben Wert wie zwei Viertel.<br />
<br />
<br />[[File:Kürzen.png|thumb|Brüche kürzen]]<br />
=== Kürzen === <br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br /><br />
Im Beispiel wird der Bruch sechs Neuntel mit 3 gekürzt. Auch hier wird jeweils der Zähler geteilt durch 3 und der Nenner geteilt durch 3 genommen. Das Ergebnis zwei Drittel und der zu kürzende Bruch sechs Neuntel sind gleichwertig.<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
[[File:Addieren.png|thumb|Brüche addieren]]<br />
=== Addieren === <br />
<br />
Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
Der einfachste Weg Brüche gleichnamig zu machen ist, den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu erweitertn. <br />
<br />
Beispielsweise sollen die Brüche fünf Achtel und ein Drittel addiert werden. Fünf Achtel wird mit 3 erweitert und ein Drittel wird mit 8 erweitert.<br />
Erst wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, können die Zähler addiert werden. Achtung: Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
[[File:Subtrahieren.png|thumb|Brüche Subtrahieren]]<br /><br />
<br /><br />
=== Subtrahieren ===<br />
<br /><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Dies geschieht genau wie bei der Addition durch Erweitern oder Kürzen.<br /><br />
Wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, werden die Zähler subtrahiert. <br /><br />
Die Nenner bleiben ebenfalls gleich!<br /><br />
<br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
</gallery><br /><br />
<br /><br />
=== Dividieren ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
|<br />
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<br />
[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35123Bruchrechnung2016-07-06T14:41:37Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
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File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
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File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
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File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Scheibweise === <br />
[[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br /><br />
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der durch 4 Stücke geteilt wurde. <br />
Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).<br />
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).<br />
<br /><br />
[[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel = 4 Achtel]]<br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargstellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht! <br /><br /><br />
<br />
Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.<br /><br /><br />
<br />
Solche Brüche, die denselben Wert haben aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.<br />
Bruchzahl Brüche<br />
<u>1</u> <sub>=</sub> <u>2</u> <sub>=</sub> <u>4</u> <sub>=</sub> <u>6</u> <sub>...</sub><br />
2 4 8 12 <br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel:<br /><br />
<sup>2</sup>/<sub>3</sub> wird mit dem Faktor 3 erweitert.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 multipliziert (2 mal 3 = 6) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 multipliziert (3 mal 3 = 9).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub> ergibt sich also somit der erweiterte Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub>.<br /><br />
<br />
=== Kürzen ===<br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br />
Zum Beispiel: <br /><br />
<br />
<sup>6</sup>/<sub>9</sub> wird mit dem Divisor 3 gekürzt.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 dividiert (6:3=2) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 dividiert (9:3=3).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub> ergibt sich also somit der gekürzte Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub>.<br /> <br />
<br /><br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
=== Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===<br />
Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br /><br />
<br />
Will man beispielsweise die Brüche <sup>5</sup>/<sub>8</sub> und <sup>1</sup>/<sub>5</sub> addieren, müssen zuerst die verschiedenen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner wäre die Zahl 40. Im nächsten Schritt muss der Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> mit dem Faktor 5 erweitert werden und der Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> mit dem Faktor 8. Wie man Brüche erweitert, ist unter dem Abschnitt '''Erweitern''' erklärt. <br /><br /><br />
<br />
Aus dem Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>25</sup>/<sub>40</sub><br /><br />
und aus dem Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>8</sup>/<sub>40</sub>.<br />.<br />
<br />
In dem Beispiel oben wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> + <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>33</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> - <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>17</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren von Brüchen ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
</gallery><br /><br />
<br /><br />
=== Dividieren von Brüchen ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
|<br />
</gallery><br />
<br />
[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35122Bruchrechnung2016-07-06T13:36:10Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
<gallery><br />
File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
<gallery><br />
File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
<gallery><br />
File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Scheibweise === <br />
[[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br /><br />
Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der durch 4 Stücke geteilt wurde. <br />
Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).<br />
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).<br />
<br /><br />
[[File:2 Viertel gleich 4 Achtel.png|thumb|2 Viertel gleich 4 Achtel]]<br /><br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche, die alle den gleichen Wert bzw. die gleiche Bedeutung haben. Von einer Bruchzahl zu der nächsten Bruchzahl gelangt man durch Erweitern und Kürzen (siehe unten). Dabei verändert sich der Wert der Bruchzahl nicht. Es handelt sich lediglich um eine andere Form der Darstellung.<br /><br />
<br />
<br />Man kann einen Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Er lässt sich aber auch in 6,8,12,... Teile zerlegen. Trotzdem ändert sich die Größe des Kuchens nicht.<br />
<br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel:<br /><br />
<sup>2</sup>/<sub>3</sub> wird mit dem Faktor 3 erweitert.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 multipliziert (2 mal 3 = 6) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 multipliziert (3 mal 3 = 9).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub> ergibt sich also somit der erweiterte Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub>.<br /><br />
<br />
=== Kürzen ===<br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br />
Zum Beispiel: <br /><br />
<br />
<sup>6</sup>/<sub>9</sub> wird mit dem Divisor 3 gekürzt.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 dividiert (6:3=2) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 dividiert (9:3=3).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub> ergibt sich also somit der gekürzte Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub>.<br /> <br />
<br /><br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
=== Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===<br />
Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br /><br />
<br />
Will man beispielsweise die Brüche <sup>5</sup>/<sub>8</sub> und <sup>1</sup>/<sub>5</sub> addieren, müssen zuerst die verschiedenen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner wäre die Zahl 40. Im nächsten Schritt muss der Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> mit dem Faktor 5 erweitert werden und der Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> mit dem Faktor 8. Wie man Brüche erweitert, ist unter dem Abschnitt '''Erweitern''' erklärt. <br /><br /><br />
<br />
Aus dem Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>25</sup>/<sub>40</sub><br /><br />
und aus dem Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>8</sup>/<sub>40</sub>.<br />.<br />
<br />
In dem Beispiel oben wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> + <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>33</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> - <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>17</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren von Brüchen ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
</gallery><br /><br />
<br /><br />
=== Dividieren von Brüchen ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
|<br />
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<br />
[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35121Bruchrechnung2016-07-06T13:08:07Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
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File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
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File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
<gallery><br />
File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Scheibweise ===<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Die Zahl unter dem Bruchstrich bezeichnet man als Nenner. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Beispiel Kuchen: ''in 4 Teile''). Die Zahl über dem Bruchstrich nennt man Zähler. Der Zähler zeigt an, wie viele Teile von dem Ganzen noch übrig bzw. vorhanden sind. (Beispiel Kuchen: 3 ''Teile sind noch vorhanden'') <br /><br />
Man kann einen Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Er lässt sich aber auch in 6,8,12,... Teile zerlegen. Trotzdem ändert sich die Größe des Kuchens nicht.<br /><br />
<gallery><br />
File:Gemeiner_Bruch.svg|<br />
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<br /><br />
<br />
[[File:2 Viertel gleich 4 Achtel.png|thumb|2 Viertel gleich 4 Achtel]]<br /><br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche, die alle den gleichen Wert bzw. die gleiche Bedeutung haben. Von einer Bruchzahl zu der nächsten Bruchzahl gelangt man durch Erweitern und Kürzen (siehe unten). Dabei verändert sich der Wert der Bruchzahl nicht. Es handelt sich lediglich um eine andere Form der Darstellung.<br /><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel:<br /><br />
<sup>2</sup>/<sub>3</sub> wird mit dem Faktor 3 erweitert.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 multipliziert (2 mal 3 = 6) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 multipliziert (3 mal 3 = 9).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub> ergibt sich also somit der erweiterte Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub>.<br /><br />
<br />
=== Kürzen ===<br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br />
Zum Beispiel: <br /><br />
<br />
<sup>6</sup>/<sub>9</sub> wird mit dem Divisor 3 gekürzt.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 dividiert (6:3=2) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 dividiert (9:3=3).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub> ergibt sich also somit der gekürzte Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub>.<br /> <br />
<br /><br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
=== Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===<br />
Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br /><br />
<br />
Will man beispielsweise die Brüche <sup>5</sup>/<sub>8</sub> und <sup>1</sup>/<sub>5</sub> addieren, müssen zuerst die verschiedenen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner wäre die Zahl 40. Im nächsten Schritt muss der Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> mit dem Faktor 5 erweitert werden und der Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> mit dem Faktor 8. Wie man Brüche erweitert, ist unter dem Abschnitt '''Erweitern''' erklärt. <br /><br /><br />
<br />
Aus dem Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>25</sup>/<sub>40</sub><br /><br />
und aus dem Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>8</sup>/<sub>40</sub>.<br />.<br />
<br />
In dem Beispiel oben wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> + <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>33</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> - <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>17</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren von Brüchen ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
</gallery><br /><br />
<br /><br />
=== Dividieren von Brüchen ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
|<br />
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[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35120Bruchrechnung2016-07-06T13:07:41Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der [[Arithmetik]]. Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
Beispielsweise finden sie ihre Verwendung im Alltag, wenn es darum geht, einen ganzen Kuchen zu teilen. Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br /><br />
<br /><br />
Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".<br />
<gallery><br />
File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen<br />
File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke<br />
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File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel<br />
File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel<br />
<gallery><br />
File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel<br />
</gallery><br />
</gallery><br />
</gallery><br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Scheibweise ===<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Die Zahl unter dem Bruchstrich bezeichnet man als Nenner. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Beispiel Kuchen: ''in 4 Teile''). Die Zahl über dem Bruchstrich nennt man Zähler. Der Zähler zeigt an, wie viele Teile von dem Ganzen noch übrig bzw. vorhanden sind. (Beispiel Kuchen: 3 ''Teile sind noch vorhanden'') <br /><br />
Man kann einen Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Er lässt sich aber auch in 6,8,12,... Teile zerlegen. Trotzdem ändert sich die Größe des Kuchens nicht.<br /><br />
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File:Gemeiner_Bruch.svg|<br />
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<br /><br />
<br />
[[File:2 Viertel gleich 4 Achtel.png|thumb|2 Viertel gleich 4 Achtel]]<br /><br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche, die alle den gleichen Wert bzw. die gleiche Bedeutung haben. Von einer Bruchzahl zu der nächsten Bruchzahl gelangt man durch Erweitern und Kürzen (siehe unten). Dabei verändert sich der Wert der Bruchzahl nicht. Es handelt sich lediglich um eine andere Form der Darstellung.<br /><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel:<br /><br />
<sup>2</sup>/<sub>3</sub> wird mit dem Faktor 3 erweitert.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 multipliziert (2 mal 3 = 6) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 multipliziert (3 mal 3 = 9).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub> ergibt sich also somit der erweiterte Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub>.<br /><br />
<br />
=== Kürzen ===<br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br />
Zum Beispiel: <br /><br />
<br />
<sup>6</sup>/<sub>9</sub> wird mit dem Divisor 3 gekürzt.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 dividiert (6:3=2) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 dividiert (9:3=3).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub> ergibt sich also somit der gekürzte Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub>.<br /> <br />
<br /><br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
=== Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===<br />
Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br /><br />
<br />
Will man beispielsweise die Brüche <sup>5</sup>/<sub>8</sub> und <sup>1</sup>/<sub>5</sub> addieren, müssen zuerst die verschiedenen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner wäre die Zahl 40. Im nächsten Schritt muss der Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> mit dem Faktor 5 erweitert werden und der Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> mit dem Faktor 8. Wie man Brüche erweitert, ist unter dem Abschnitt '''Erweitern''' erklärt. <br /><br /><br />
<br />
Aus dem Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>25</sup>/<sub>40</sub><br /><br />
und aus dem Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>8</sup>/<sub>40</sub>.<br />.<br />
<br />
In dem Beispiel oben wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> + <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>33</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> - <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>17</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren von Brüchen ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
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<br /><br />
=== Dividieren von Brüchen ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
|<br />
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[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35118Bruchrechnung2016-07-06T11:04:57Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der Arithmetik.<br /><br /><br />
<br />
Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel lassen sich Brüche anhand eines ganzen Kuchens veranschaulichen. <br /><br />
Wenn man den Kuchen in 4 gleich große Teile teilt, weil insgesamt vier Personen Kuchen essen wollen. So erhält jede Person ein Stück von<br /><br />
dem Kuchen, also ein Viertel des Kuchens. <br /><br /><br />
<gallery><br />
File:Ganzer_Kuchen.png|Ganzer Kuchen mit 4 Vierteln<br />
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<br />
Im nächsten Schritt wird ein Viertel von dem Kuchen gegessen.<br />
<br /><br />
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<br />
Nimmt man ein Viertel von dem ganzen Kuchen weg, also von vier Vierteln, so bleibt am Ende drei Viertel von dem Kuchen übrig. <br />
<gallery><br />
File:3_Viertel_Kuchen.png|<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
Die Darstellung von Brüchen beruht also darauf, dass sich ein Ganzes (in diesem Beispiel ''der Kuchen'') noch unterteilen lässt (in diesem Beispiel ''in vier gleich große Teile''). <br /><br />
<br /><br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Scheibweise ===<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Die Zahl unter dem Bruchstrich bezeichnet man als Nenner. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Beispiel Kuchen: ''in 4 Teile''). Die Zahl über dem Bruchstrich nennt man Zähler. Der Zähler zeigt an, wie viele Teile von dem Ganzen noch übrig bzw. vorhanden sind. (Beispiel Kuchen: 3 ''Teile sind noch vorhanden'') <br /><br />
Man kann einen Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Er lässt sich aber auch in 6,8,12,... Teile zerlegen. Trotzdem ändert sich die Größe des Kuchens nicht.<br /><br />
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File:Gemeiner_Bruch.svg|<br />
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<br /><br />
<br />
[[File:2 Viertel gleich 4 Achtel.png|thumb|2 Viertel gleich 4 Achtel]]<br /><br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche, die alle den gleichen Wert bzw. die gleiche Bedeutung haben. Von einer Bruchzahl zu der nächsten Bruchzahl gelangt man durch Erweitern und Kürzen (siehe unten). Dabei verändert sich der Wert der Bruchzahl nicht. Es handelt sich lediglich um eine andere Form der Darstellung.<br /><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel:<br /><br />
<sup>2</sup>/<sub>3</sub> wird mit dem Faktor 3 erweitert.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 multipliziert (2 mal 3 = 6) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 multipliziert (3 mal 3 = 9).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub> ergibt sich also somit der erweiterte Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub>.<br /><br />
<br />
=== Kürzen ===<br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br />
Zum Beispiel: <br /><br />
<br />
<sup>6</sup>/<sub>9</sub> wird mit dem Divisor 3 gekürzt.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 dividiert (6:3=2) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 dividiert (9:3=3).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub> ergibt sich also somit der gekürzte Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub>.<br /> <br />
<br /><br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
=== Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===<br />
Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br /><br />
<br />
Will man beispielsweise die Brüche <sup>5</sup>/<sub>8</sub> und <sup>1</sup>/<sub>5</sub> addieren, müssen zuerst die verschiedenen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner wäre die Zahl 40. Im nächsten Schritt muss der Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> mit dem Faktor 5 erweitert werden und der Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> mit dem Faktor 8. Wie man Brüche erweitert, ist unter dem Abschnitt '''Erweitern''' erklärt. <br /><br /><br />
<br />
Aus dem Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>25</sup>/<sub>40</sub><br /><br />
und aus dem Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>8</sup>/<sub>40</sub>.<br />.<br />
<br />
In dem Beispiel oben wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> + <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>33</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> - <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>17</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren von Brüchen ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
</gallery><br /><br />
<br /><br />
=== Dividieren von Brüchen ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
|<br />
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<br />
[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35117Bruchrechnung2016-07-06T11:02:26Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der Arithmetik.<br /><br /><br />
<br />
Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel lassen sich Brüche anhand eines ganzen Kuchens veranschaulichen. <br /><br />
Wenn man den Kuchen in 4 gleich große Teile teilt, weil insgesamt vier Personen Kuchen essen wollen. So erhält jede Person ein Stück von<br /><br />
dem Kuchen, also ein Viertel des Kuchens. <br /><br /><br />
<gallery><br />
File:Ganzer_Kuchen.png|Ganzer Kuchen mit 4 Vierteln<br />
</gallery><br />
<br />
Im nächsten Schritt wird ein Viertel von dem Kuchen gegessen.<br />
<br /><br />
<br />
<br />
Nimmt man ein Viertel von dem ganzen Kuchen weg, also von vier Vierteln, so bleibt am Ende drei Viertel von dem Kuchen übrig. <br />
<gallery><br />
File:Ganz_minus_1_Viertel_gleich_3_Viertel.png|<br />
File:3_Viertel_Kuchen.png|<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
Die Darstellung von Brüchen beruht also darauf, dass sich ein Ganzes (in diesem Beispiel ''der Kuchen'') noch unterteilen lässt (in diesem Beispiel ''in vier gleich große Teile''). <br /><br />
<br /><br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Scheibweise ===<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Die Zahl unter dem Bruchstrich bezeichnet man als Nenner. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Beispiel Kuchen: ''in 4 Teile''). Die Zahl über dem Bruchstrich nennt man Zähler. Der Zähler zeigt an, wie viele Teile von dem Ganzen noch übrig bzw. vorhanden sind. (Beispiel Kuchen: 3 ''Teile sind noch vorhanden'') <br /><br />
Man kann einen Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Er lässt sich aber auch in 6,8,12,... Teile zerlegen. Trotzdem ändert sich die Größe des Kuchens nicht.<br /><br />
<gallery><br />
File:Gemeiner_Bruch.svg|<br />
</gallery><br />
<br /><br />
<br />
[[File:2 Viertel gleich 4 Achtel.png|thumb|2 Viertel gleich 4 Achtel]]<br /><br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche, die alle den gleichen Wert bzw. die gleiche Bedeutung haben. Von einer Bruchzahl zu der nächsten Bruchzahl gelangt man durch Erweitern und Kürzen (siehe unten). Dabei verändert sich der Wert der Bruchzahl nicht. Es handelt sich lediglich um eine andere Form der Darstellung.<br /><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel:<br /><br />
<sup>2</sup>/<sub>3</sub> wird mit dem Faktor 3 erweitert.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 multipliziert (2 mal 3 = 6) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 multipliziert (3 mal 3 = 9).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub> ergibt sich also somit der erweiterte Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub>.<br /><br />
<br />
=== Kürzen ===<br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br />
Zum Beispiel: <br /><br />
<br />
<sup>6</sup>/<sub>9</sub> wird mit dem Divisor 3 gekürzt.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 dividiert (6:3=2) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 dividiert (9:3=3).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub> ergibt sich also somit der gekürzte Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub>.<br /> <br />
<br /><br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
=== Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===<br />
Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br /><br />
<br />
Will man beispielsweise die Brüche <sup>5</sup>/<sub>8</sub> und <sup>1</sup>/<sub>5</sub> addieren, müssen zuerst die verschiedenen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner wäre die Zahl 40. Im nächsten Schritt muss der Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> mit dem Faktor 5 erweitert werden und der Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> mit dem Faktor 8. Wie man Brüche erweitert, ist unter dem Abschnitt '''Erweitern''' erklärt. <br /><br /><br />
<br />
Aus dem Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>25</sup>/<sub>40</sub><br /><br />
und aus dem Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>8</sup>/<sub>40</sub>.<br />.<br />
<br />
In dem Beispiel oben wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> + <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>33</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br /><br />
<sup>25</sup>/<sub>40</sub> - <sup>8</sup>/<sub>40</sub> = <sup>17</sup>/<sub>40</sub><br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren von Brüchen ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
</gallery><br /><br />
<br /><br />
=== Dividieren von Brüchen ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
|<br />
</gallery><br />
<br />
[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35116Bruchrechnung2016-07-06T10:56:25Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der Arithmetik.<br /><br /><br />
<br />
Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel lassen sich Brüche anhand eines ganzen Kuchens veranschaulichen. <br /><br />
Wenn man den Kuchen in 4 gleich große Teile teilt, weil insgesamt vier Personen Kuchen essen wollen. So erhält jede Person ein Stück von<br /><br />
dem Kuchen, also ein Viertel des Kuchens. <br /><br /><br />
<gallery><br />
File:Ganzer_Kuchen.png|Ganzer Kuchen mit 4 Vierteln<br />
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<br />
Im nächsten Schritt wird ein Viertel von dem Kuchen gegessen.<br />
<br /><br />
<br />
<br />
Nimmt man ein Viertel von dem ganzen Kuchen weg, also von vier Vierteln, so bleibt am Ende drei Viertel von dem Kuchen übrig. <br />
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File:Ganz_minus_1_Viertel_gleich_3_Viertel.png|<br />
File:3_Viertel_Kuchen.png|<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
Die Darstellung von Brüchen beruht also darauf, dass sich ein Ganzes (in diesem Beispiel ''der Kuchen'') noch unterteilen lässt (in diesem Beispiel ''in vier gleich große Teile''). <br /><br />
<br /><br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Scheibweise ===<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Die Zahl unter dem Bruchstrich bezeichnet man als Nenner. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Beispiel Kuchen: ''in 4 Teile''). Die Zahl über dem Bruchstrich nennt man Zähler. Der Zähler zeigt an, wie viele Teile von dem Ganzen noch übrig bzw. vorhanden sind. (Beispiel Kuchen: 3 ''Teile sind noch vorhanden'') <br /><br />
Man kann einen Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Er lässt sich aber auch in 6,8,12,... Teile zerlegen. Trotzdem ändert sich die Größe des Kuchens nicht.<br /><br />
<gallery><br />
File:Gemeiner_Bruch.svg|<br />
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<br /><br />
<br />
[[File:2 Viertel gleich 4 Achtel.png|thumb|2 Viertel gleich 4 Achtel]]<br /><br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche, die alle den gleichen Wert bzw. die gleiche Bedeutung haben. Von einer Bruchzahl zu der nächsten Bruchzahl gelangt man durch Erweitern und Kürzen (siehe unten). Dabei verändert sich der Wert der Bruchzahl nicht. Es handelt sich lediglich um eine andere Form der Darstellung.<br /><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<br />
=== Erweitern ===<br />
Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel:<br /><br />
<sup>2</sup>/<sub>3</sub> wird mit dem Faktor 3 erweitert.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 multipliziert (2 mal 3 = 6) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 multipliziert (3 mal 3 = 9).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub> ergibt sich also somit der erweiterte Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub>.<br /><br />
<br />
=== Kürzen ===<br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br />
Zum Beispiel: <br /><br />
<br />
<sup>6</sup>/<sub>9</sub> wird mit dem Divisor 3 gekürzt.<br /><br />
Also wird der Zähler mit 3 dividiert (6:3=2) und der Nenner wird ebenfalls mit 3 dividiert (9:3=3).<br /><br />
Aus dem Bruch <sup>6</sup>/<sub>9</sub> ergibt sich also somit der gekürzte Bruch <sup>2</sup>/<sub>3</sub>.<br /> <br />
<br /><br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
=== Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===<br />
Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br /><br />
<br />
Will man beispielsweise die Brüche <sup>5</sup>/<sub>8</sub> und <sup>1</sup>/<sub>5</sub> addieren, müssen zuerst die verschiedenen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner wäre die Zahl 40. Im nächsten Schritt muss der Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> mit dem Faktor 5 erweitert werden und der Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> mit dem Faktor 8. Wie man Brüche erweitert, ist unter dem Abschnitt '''Erweitern''' erklärt. <br /><br /><br />
<br />
Aus dem Bruch <sup>5</sup>/<sub>8</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>25</sup>/<sub>40</sub><br /><br />
und aus dem Bruch <sup>1</sup>/<sub>5</sub> wird dann der erweiterte Bruch <sup>8</sup>/<sub>40</sub>.<br />.<br />
<br />
<br />
In dem Beispiel rechts wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
Beispiel:<br />
<gallery><br />
File:Gleichnamig_Addieren.png|<br />
</gallery><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Gleichnamig_Subtrahieren.png|<br />
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<br />
=== Multiplizieren von Brüchen ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
</gallery><br /><br />
<br /><br />
=== Dividieren von Brüchen ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
Beispiel für eine Division:<br />
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File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png|<br />
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<br />
[[Kategorie:Artikelentwürfe]]</div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35096Bruchrechnung2016-07-05T21:30:15Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der Arithmetik.<br /><br /><br />
<br />
Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel lassen sich Brüche anhand eines ganzen Kuchens veranschaulichen. <br /><br />
Wenn man den Kuchen in 4 gleich große Teile teilt, weil insgesamt vier Personen Kuchen essen wollen. So erhält jede Person ein Stück von<br /><br />
dem Kuchen, also ein Viertel des Kuchens. <br /><br /><br />
<gallery><br />
File:Ganzer_Kuchen.png|Ganzer Kuchen mit 4 Vierteln<br />
</gallery><br />
<br />
Im nächsten Schritt wird ein Viertel von dem Kuchen gegessen.<br />
<br /><br />
<br />
<br />
Nimmt man ein Viertel von dem ganzen Kuchen weg, also von vier Vierteln, so bleibt am Ende drei Viertel von dem Kuchen übrig. <br />
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File:Ganz_minus_1_Viertel_gleich_3_Viertel.png|<br />
File:3_Viertel_Kuchen.png|<br />
</gallery><br />
<br />
<br />
Die Darstellung von Brüchen beruht also darauf, dass sich ein Ganzes (in diesem Beispiel ''der Kuchen'') noch unterteilen lässt (in diesem Beispiel ''in vier gleich große Teile''). <br /><br />
<br /><br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Scheibweise ===<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Die Zahl unter dem Bruchstrich bezeichnet man als Nenner. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Beispiel Kuchen: ''in 4 Teile''). Die Zahl über dem Bruchstrich nennt man Zähler. Der Zähler zeigt an, wie viele Teile von dem Ganzen noch übrig bzw. vorhanden sind. (Beispiel Kuchen: 3 ''Teile sind noch vorhanden'') <br /><br />
Man kann einen Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Er lässt sich aber auch in 6,8,12,... Teile zerlegen. Trotzdem ändert sich die Größe des Kuchens nicht.<br /><br />
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File:Gemeiner_Bruch.svg|<br />
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<br /><br />
<br />
[[File:2 Viertel gleich 4 Achtel.png|thumb|2 Viertel gleich 4 Achtel]]<br /><br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche, die alle den gleichen Wert bzw. die gleiche Bedeutung haben. Von einer Bruchzahl zu der nächsten Bruchzahl gelangt man durch Erweitern und Kürzen (siehe unten). Dabei verändert sich der Wert der Bruchzahl nicht. Es handelt sich lediglich um eine andere Form der Darstellung.<br /><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<br />
=== Kürzen ===<br />
[[File:Kürzen von Brüchen.png|thumb|Kürzen von Brüchen]]Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel:<br />
<br />
<br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br />
Zum Beispiel: <br /><br />
<br /><br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
=== Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===<br />
[[File:Addieren von Brüchen.png|thumb|Brüche gleichnamig machen]]Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
<br /><br />
In dem Beispiel rechts wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Gleichnamig_Addieren.png|<br />
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<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Gleichnamig_Subtrahieren.png|<br />
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=== Multiplizieren von Brüchen ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
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<br /><br />
=== Dividieren von Brüchen ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
Beispiel für eine Division:<br />
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File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png|<br />
</gallery></div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Bruchrechnung&diff=35095Bruchrechnung2016-07-05T21:28:25Z<p>Anna Syrai: Die Seite wurde neu angelegt: „Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der Arithmetik.<br /><br /> Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /> Zum Beispiel lassen…“</p>
<hr />
<div>Die Bruchrechnung gehört in der Mathematik zum Themengebiet der Arithmetik.<br /><br /><br />
<br />
Brüche beschreiben Anteile eines Ganzen. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel lassen sich Brüche anhand eines ganzen Kuchens veranschaulichen. <br /><br />
Wenn man den Kuchen in 4 gleich große Teile teilt, weil insgesamt vier Personen Kuchen essen wollen. So erhält<br /><br />
jede Person ein Stück von dem Kuchen, also ein Viertel des Kuchens. <br /><br /><br />
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File:Ganzer_Kuchen.png|Ganzer Kuchen mit 4 Vierteln<br />
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<br />
Im nächsten Schritt wird ein Viertel von dem Kuchen gegessen.<br />
<br /><br />
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<br />
Nimmt man ein Viertel von dem ganzen Kuchen weg, also von vier Vierteln, so bleibt am Ende drei Viertel<br /><br />
von dem Kuchen übrig. <br />
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File:Ganz_minus_1_Viertel_gleich_3_Viertel.png|<br />
File:3_Viertel_Kuchen.png|<br />
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<br />
Die Darstellung von Brüchen beruht also darauf, dass sich ein Ganzes (in diesem Beispiel ''der Kuchen'') noch unterteilen lässt (in diesem Beispiel ''in vier gleich große Teile''). <br /><br />
<br /><br />
<br />
== Brüche allgemein ==<br />
=== Scheibweise ===<br />
Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Die Zahl unter dem Bruchstrich bezeichnet man als Nenner. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Beispiel Kuchen: ''in 4 Teile''). Die Zahl über dem Bruchstrich nennt man Zähler. Der Zähler zeigt an, wie viele Teile von dem Ganzen noch übrig bzw. vorhanden sind. (Beispiel Kuchen: 3 ''Teile sind noch vorhanden'') <br /><br />
Man kann einen Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Er lässt sich aber auch in 6,8,12,... Teile zerlegen. Trotzdem ändert sich die Größe des Kuchens nicht.<br /><br />
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File:Gemeiner_Bruch.svg|<br />
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<br /><br />
<br />
[[File:2 Viertel gleich 4 Achtel.png|thumb|2 Viertel gleich 4 Achtel]]<br /><br />
=== Bruchzahl und Brüche ===<br />
Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche, die alle den gleichen Wert bzw. die gleiche Bedeutung haben. Von einer Bruchzahl zu der nächsten Bruchzahl gelangt man durch Erweitern und Kürzen (siehe unten). Dabei verändert sich der Wert der Bruchzahl nicht. Es handelt sich lediglich um eine andere Form der Darstellung.<br /><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<br />
=== Kürzen ===<br />
[[File:Kürzen von Brüchen.png|thumb|Kürzen von Brüchen]]Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
<br />
Zum Beispiel:<br />
<br />
<br />
Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br /><br />
<br />
Zum Beispiel: <br /><br />
<br /><br />
== Rechnen mit Brüchen ==<br />
=== Addieren und Subtrahieren von Brüchen ===<br />
[[File:Addieren von Brüchen.png|thumb|Brüche gleichnamig machen]]Damit man Brüche addieren und subtrahieren kann, müssen diese zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br /><br />
<br /><br />
In dem Beispiel rechts wurden die Nenner durch Multiplizieren auf die Zahl 40 erweitert. Nachdem die Brüche gleichnamig gemacht wurden, addiert man die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt gleich!<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Gleichnamig_Addieren.png|<br />
</gallery><br />
<br />
Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler subtrahiert. Die Nenner bleiben gleich.<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Gleichnamig_Subtrahieren.png|<br />
</gallery><br /><br />
<br />
<br />
=== Multiplizieren von Brüchen ===<br />
<br />
Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br /><br />
Beispiel:<br />
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File:Multiplizieren_von_Br%C3%BCchen.png<br />
</gallery><br /><br />
<br /><br />
=== Dividieren von Brüchen ===<br />
Beim Dividieren muss man folgende Regel beachten: <br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht. So ist der Kehrwert von <sup>6</sup>/<sub>5</sub> --> <sup>5</sup>/<sub>6</sub><br /><br />
Beispiel für eine Division:<br />
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File:Dividieren_von_Br%C3%BCchen.png|<br />
</gallery></div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Maya&diff=35087Maya2016-07-05T18:03:03Z<p>Anna Syrai: </p>
<hr />
<div>Die Maya sind ein Volk, die in Mittelamerika gelebt haben. Dort haben sie auch bewundernswerte Gebäude wie Tempel und Pyramiden errichtet, von denen noch heute Überreste erhalten geblieben sind. Sie beschäftigten sich mit wissenschaftlichen Berechnungen und astronomischen Beobachtungen, z.B. dem Gang von Planeten, der Sonne, des Mondes und den Sternen. Da die Maya für ihre Berechnungen große Zahlen benötigten, entwickelten sie ihr eigenes, mehrstufiges Zahlensystem.<br /><br />
== Zeichen des Zahlensystems == <br />
Für die Darstellung der Zahlen verwenden die Maya nur drei Zeichen. Für die Null benutzen sie das Symbol einer Muschel. Mit einem Punkt stellen sie den Wert 1 dar und mit einem waagerechten Strich den Wert 5.<br /><br />
<gallery><br />
File:0_maia.svg|0<br />
File:Maya_1.svg|1<br />
<gallery><br />
File:Maya_5.svg|5<br />
</gallery><br />
== Zahlensystem ==<br />
<br />
Unser Zahlensystem ist ein Zehnersystem, auch als „Dezimalsystem“ bekannt, weil wir für alle Zahlen genau zehn unterschiedliche Zeichen (Ziffern) verwenden: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. <br /><br />
Das Zahlensystem der Maya basiert auf einem Zwanzigersystem, das „Vigesimalsystem“ genannt wird. <br /><br />
Im Gegensatz zu uns benutzen sie nicht 10 unterschiedliche Zeichen, sondern 20, die nur aus den drei Zeichen kombiniert werden. Das bedeutet, dass die Maya aus den Zeichenkombinationen der Zahlen 0 bis 19 alle Zahlen schreiben können.[[File:Maya Zahlen bis 19.png|thumb|Zahlen bis 19]]<br /><br />
<br /><br />
<br />
=== Zahlen von 0 bis 19 ===<br />
<br />
Ein Punkt bedeutet also 1, zwei Punkte stellen die Zahl 2 dar, drei Punkte die Zahl 3 und vier Punkte die Zahl 4. Die Punkte werden dann waagerecht nebeneinander geschrieben. Für die Zahl 5 verwenden sie den waagerechten Strich.<br /><br /><br />
<br />
Die Zahl 6 sieht so aus: sie besteht aus einem Strich (also der Zahl 5) und einem Punkt (also der Zahl 1), denn 5 + 1 ergibt 6. <br /><br />
Weil die Maya ihre Zahlen von oben nach unten geschrieben haben, steht die kleinste Zahl immer oben und die größte Zahl immer unten. Deshalb steht bei der Zahl 6 der Punkt (also die 1) oben und der Strich (also die 5) unten.<br /><br />
<br /><br />
Nach diesem Prinzip werden alle Zahlen bis 19 geschrieben.<br /><br /><br />
[[File:Maya 20.png|thumb|Zahl 20]][[File:Maya 50.png|thumb|Zahl 50]]<br />
=== Zahlen ab 20 === <br />
Für die Zahlen, die größer als 19 sind, verwenden die Maya ein mehrstufiges Stellenwertsystem.<br />
Dieses Stellenwertsystem kann man sich als übereinanderliegende Felder oder Reihen vorstellen.<br /><br />
<br />
In der unteren Reihe, die auch „1. Ordnung“ genannt wird, bleibt die dargestellte Zahl unverändert. Dort lassen sich nämlich alle Zahlen von 0-19 abbilden. <br /><br />
Sobald die Maya eine größere Zahl als 19 schreiben wollen, beginnen sie eine neue Reihe. <br /><br />
Diese obere Reihe, auch als „2. Ordnung“ bekannt, zählt wegen dem Zwanzigersystem das 20fache. Deshalb muss die dargestellte Zahl in der oberen Reihe mit 20 multipliziert werden.<br /><br />
<br /><br />
<br />
Nach diesem Prinzip werden alle Zahlen von 20 bis 359 geschrieben. Warum verändert sich das Prinzip ab 360?<br />
<br />
<br /><br />
<br />
=== Zahlen ab 360 ===<br />
<br />
Die Zahl 360 stammt aus dem Sonnenkalender der Maya, der unserem Kalender sehr nahe kommt. Der Name des Kalenders lautet „Haab“ oder auch „Haab-Kalender“. Ein Haabjahr hat 18 Monate mit jeweils 20 Tagen sowie einen zusätzlichen Monat mit nur fünf Tagen. Damit kam das Maya-Volk auf 360 Tage im Jahr (18 Monate x 20 Tage = 360) mit noch fünf zusätzlichen Tagen. Insgesamt sind das dann 365 Tage, so wie in unserem Kalender. Für ihr Zahlensystem ist die Zahl 360, wegen der 18 Monate mit je 20 Tagen, von großer Bedeutung.<br /><br />
<br />
Wenn die Maya die Zahl 360 oder eine noch größere Zahl schreiben wollen, entsteht eine dritte Reihe. Diese dargestellte Zahl in der „3. Ordnung“ wird mit 360 multipliziert.[[File:Zahl Maya 2863.png|thumb|Zahl 2863]]<br /><br />
<br />
<math>Beispiel: 2863</math><br /><br />
<math>3. Ordnung:</math> 7 x 360 = 25620<br />
<math>2. Ordnung:</math> 17 x 20 = 340<br />
<math>1. Ordnung:</math> 3<br /><br />
<math>Die </math> <math>Summe</math> <math>der</math> <math>Ergebnisse</math> <math>ergibt</math> <math>die</math> <math>gesuchte</math> <math>Zahl:</math> 25620 + 320 + 3 = 2863<br />
<br /><br />
=== Regelmäßigkeit ===<br />
[[File:Zahlenbeispiele bis zur 4. Ordnung.png|thumb|Zahlenbeispiele bis zur 4. Ordnung]]<br />
Mit den drei Reihen konnten die Maya die Zahlen bis 7200 schreiben. Warum bis 7200? Jetzt lässt sich eine Regelmäßigkeit erkennen:<br />
jede neue Reihe ist das 20fache der vorherigen Reihe.So kann das immer weiter fortgeführt werden.<br />
<br />
<math>3. Ordnung: </math> 18 x 20 = 360<br />
<math>4. Ordnung: </math> 18 x 20 x 20 = 7200<br /><br />
<br />
Mithilfe der 4. Ordnung lässt sich daher zum Beispiel die Zahl 63264 darstellen. Dabei zählt die 4. Reihe das 7200fache.<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Zahlen selbst schreiben: Beispiel 754 ==<br />
<br /><br />
:1. Schritt:<br />
Überlegt wird zuerst, welche Ordnung die 754 teilen kann. Die 4. Ordnung 7200, 3. Ordnung 360, 2. Ordnung 20 oder 1. Ordnung 1?<br />
Gewählt wird immer die höchst mögliche Ordnung.In dem Fall ist es die 3. Ordnung, also die Zahl 360. Deshalb wird 754 durch 360 geteilt.<br />
<br />
754 : 360 = <math>2</math> Rest 34<br />
<br />
Da durch die 3. Ordnung geteilt wurde, gibt es 3 Reihen. Das Ergebnis 2 wird ohne den Rest in der 3. Reihe notiert.<br />
<gallery><br />
File:1._Schritt_Zahlen_selbst_schreiben.png|<br />
</gallery><br /><br />
<br />
:2. Schritt:<br />
Der Rest 34 wird durch die nächst kleinere Ordnung geteilt, also durch die 2. Ordnung 20.<br />
<br />
34 : 20 = <math>1</math> Rest 14<br />
<br />
Da durch die 2. Ordnung geteilt wurde, wird das Ergebnis (wieder ohne Rest) in die 2. Reihe geschrieben.<br />
<gallery><br />
File:2._Schritt_Zahlen_selbst_schreiben.png|<br />
</gallery><br /><br />
<br />
:3. Schritt:<br />
Der Rest 14 müsste wieder durch die nächst kleinere Ordnung geteilt werden. Da diese die 1. Ordnung ist, bleibt die Zahl unverändert.<br />
<br />
(14 : 1 = <math>14</math>)<br />
<br />
Deshalb wird der letzte Rest 14 einfach übernommen und in der ersten Reihe notiert.<br />
<br />
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File:3._Schritt_Zahlen_selbst_schreiben.png|<br />
</gallery></div>Anna Syraihttps://klexikon.zum.de/index.php?title=Maya&diff=35086Maya2016-07-05T17:40:10Z<p>Anna Syrai: Die Seite wurde neu angelegt: „Die Maya sind ein Volk, die in Mittelamerika gelebt haben. Dort haben sie auch bewundernswerte Gebäude wie Tempel und Pyramiden errichtet, von denen noch heut…“</p>
<hr />
<div>Die Maya sind ein Volk, die in Mittelamerika gelebt haben. Dort haben sie auch bewundernswerte Gebäude wie Tempel und Pyramiden errichtet, von denen noch heute Überreste erhalten geblieben sind. Sie beschäftigten sich mit wissenschaftlichen Berechnungen und astronomischen Beobachtungen, z.B. dem Gang von Planten, der Sonne, des Mondes und den Sternen. Da die Maya für ihre Berechnungen große Zahlen benötigten, entwickelten sie ihr eigenes, mehrstufiges Zahlensystem.<br /><br />
== Zeichen des Zahlensystems == <br />
Für die Darstellung der Zahlen verwenden die Maya nur drei Zeichen. Für die Null benutzen sie das Symbol einer Muschel. Mit einem Punkt stellen sie den Wert 1 dar und mit einem waagerechten Strich den Wert 5.<br /><br />
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File:0_maia.svg|0<br />
File:Maya_1.svg|1<br />
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File:Maya_5.svg|5<br />
</gallery><br />
== Zahlensystem ==<br />
<br />
Unser Zahlensystem ist ein Zehnersystem, auch als „Dezimalsystem“ bekannt, weil wir für alle Zahlen genau zehn unterschiedliche Zeichen (Ziffern) verwenden: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. <br /><br />
Das Zahlensystem der Maya basiert auf einem Zwanzigersystem, das „Vigesimalsystem“ genannt wird. <br /><br />
Im Gegensatz zu uns benutzen sie nicht 10 unterschiedliche Zeichen, sondern 20, die nur aus den drei Zeichen kombiniert werden. Das bedeutet, dass die Maya aus den Zeichenkombinationen der Zahlen 0 bis 19 alle Zahlen schreiben können.[[File:Maya Zahlen bis 19.png|thumb|Zahlen bis 19]]<br /><br />
<br /><br />
<br />
=== Zahlen von 0 bis 19 ===<br />
<br />
Ein Punkt bedeutet also 1, zwei Punkte stellen die Zahl 2 dar, drei Punkte die Zahl 3 und vier Punkte die Zahl 4. Die Punkte werden dann waagerecht nebeneinander geschrieben. Für die Zahl 5 verwenden sie den waagerechten Strich.<br /><br /><br />
<br />
Die Zahl 6 sieht so aus: sie besteht aus einem Strich (also der Zahl 5) und einem Punkt (also der Zahl 1), denn 5 + 1 ergibt 6. <br /><br />
Weil die Maya ihre Zahlen von oben nach unten geschrieben haben, steht die kleinste Zahl immer oben und die größte Zahl immer unten. Deshalb steht bei der Zahl 6 der Punkt (also die 1) oben und der Strich (also die 5) unten.<br /><br />
<br /><br />
Nach diesem Prinzip werden alle Zahlen bis 19 geschrieben.<br /><br /><br />
[[File:Maya 20.png|thumb|Zahl 20]][[File:Maya 50.png|thumb|Zahl 50]]<br />
=== Zahlen ab 20 === <br />
Für die Zahlen, die größer als 19 sind, verwenden die Maya ein mehrstufiges Stellenwertsystem.<br />
Dieses Stellenwertsystem kann man sich als übereinanderliegende Felder oder Reihen vorstellen.<br /><br />
<br />
In der unteren Reihe, die auch „1. Ordnung“ genannt wird, bleibt die dargestellte Zahl unverändert. Dort lassen sich nämlich alle Zahlen von 0-19 abbilden. <br /><br />
Sobald die Maya eine größere Zahl als 19 schreiben wollen, beginnen sie eine neue Reihe. <br /><br />
Diese obere Reihe, auch als „2. Ordnung“ bekannt, zählt wegen dem Zwanzigersystem das 20fache. Deshalb muss die dargestellte Zahl in der oberen Reihe mit 20 multipliziert werden.<br /><br />
<br /><br />
<br />
Nach diesem Prinzip werden alle Zahlen von 20 bis 359 geschrieben. Warum verändert sich das Prinzip ab 360?<br />
<br />
<br /><br />
<br />
=== Zahlen ab 360 ===<br />
<br />
Die Zahl 360 stammt aus dem Sonnenkalender der Maya, der unserem Kalender sehr nahe kommt. Der Name des Kalenders lautet „Haab“ oder auch „Haab-Kalender“. Ein Haabjahr hat 18 Monate mit jeweils 20 Tagen sowie einen zusätzlichen Monat mit nur fünf Tagen. Damit kam das Maya-Volk auf 360 Tage im Jahr (18 Monate x 20 Tage = 360) mit noch fünf zusätzlichen Tagen. Insgesamt sind das dann 365 Tage, so wie in unserem Kalender. Für ihr Zahlensystem ist die Zahl 360, wegen der 18 Monate mit je 20 Tagen, von großer Bedeutung.<br /><br />
<br />
Wenn die Maya die Zahl 360 oder eine noch größere Zahl schreiben wollen, entsteht eine dritte Reihe. Diese dargestellte Zahl in der „3. Ordnung“ wird mit 360 multipliziert.[[File:Zahl Maya 2863.png|thumb|Zahl 2863]]<br /><br />
<br />
<math>Beispiel: 2863</math><br /><br />
<math>3. Ordnung:</math> 7 x 360 = 25620<br />
<math>2. Ordnung:</math> 17 x 20 = 340<br />
<math>1. Ordnung:</math> 3<br /><br />
<math>Die </math> <math>Summe</math> <math>der</math> <math>Ergebnisse</math> <math>ergibt</math> <math>die</math> <math>gesuchte</math> <math>Zahl:</math> 25620 + 320 + 3 = 2863<br />
<br /><br />
=== Regelmäßigkeit ===<br />
[[File:Zahlenbeispiele bis zur 4. Ordnung.png|thumb|Zahlenbeispiele bis zur 4. Ordnung]]<br />
Mit den drei Reihen konnten die Maya die Zahlen bis 7200 schreiben. Warum bis 7200? Jetzt lässt sich eine Regelmäßigkeit erkennen:<br />
jede neue Reihe ist das 20-fache der vorherigen Reihe.So kann das immer weiter fortgeführt werden.<br />
<br />
<math>3. Ordnung: </math> 18 x 20 = 360<br />
<math>4. Ordnung: </math> 18 x 20 x 20 = 7200<br /><br />
<br />
Mithilfe der 4. Ordnung lässt sich daher zum Beispiel die Zahl 63264 darstellen. Dabei zählt die 4. Reihe das 7200fache.<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Zahlen selbst schreiben: Beispiel 754 ==<br />
<br /><br />
:1. Schritt:<br />
Überlegt wird zuerst, welche Ordnung die 754 teilen kann. Die 4. Ordnung 7200, 3. Ordnung 360, 2. Ordnung 20 oder 1. Ordnung 1?<br />
Gewählt wird immer die höchst mögliche Ordnung.In dem Fall ist es die 3. Ordnung, also die Zahl 360. Deshalb wird 754 durch 360 geteilt.<br />
<br />
754 : 360 = <math>2</math> Rest 34<br />
<br />
Da durch die 3. Ordnung geteilt wurde, gibt es 3 Reihen. Das Ergebnis 2 wird ohne den Rest in der 3. Reihe notiert.<br />
<gallery><br />
File:1._Schritt_Zahlen_selbst_schreiben.png|<br />
</gallery><br /><br />
<br />
:2. Schritt:<br />
Der Rest 34 wird durch die nächst kleinere Ordnung geteilt, also durch die 2. Ordnung 20.<br />
<br />
34 : 20 = <math>1</math> Rest 14<br />
<br />
Da durch die 2. Ordnung geteilt wurde, wird das Ergebnis (wieder ohne Rest) in die 2. Reihe geschrieben.<br />
<gallery><br />
File:2._Schritt_Zahlen_selbst_schreiben.png|<br />
</gallery><br /><br />
<br />
:3. Schritt:<br />
Der Rest 14 müsste wieder durch die nächst kleinere Ordnung geteilt werden. Da diese die 1. Ordnung ist, bleibt die Zahl unverändert.<br />
<br />
(14 : 1 = <math>14</math>)<br />
<br />
Deshalb wird der letzte Rest 14 einfach übernommen und in der ersten Reihe notiert.<br />
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File:3._Schritt_Zahlen_selbst_schreiben.png|<br />
</gallery></div>Anna Syrai